Algèbre linéaire Exemples

Problèmes fréquents
Algèbre linéaire
Trouver les vecteurs propres (ou espace propre) [[1,0,-5,0],[0,1,0,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]
[10-50010000010000]
Étape 1
Déterminez les valeurs propres.
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Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique p(λ).
p(λ)=déterminant(A-λI4)
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille 4 est la matrice carrée 4×4 avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
[1000010000100001]
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans p(λ)=déterminant(A-λI4).
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Étape 1.3.1
Remplacez A par [10-50010000010000].
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]-λI4)
Étape 1.3.2
Remplacez I4 par [1000010000100001].
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]-λ[1000010000100001])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]-λ[1000010000100001])
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.4.1.1
Multipliez -λ par chaque élément de la matrice.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ000λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ000-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ000-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.5.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.5.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ00-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ00-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.9.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ000λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.9.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ000-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ000-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.10
Multipliez -λ⋅0.
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Étape 1.4.1.2.10.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.10.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.11
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.12
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.12.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.12.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.13
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.13.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.13.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ00-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ00-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.14
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.14.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ000λ-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.14.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ000-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ000-λ⋅0-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.15
Multipliez -λ⋅0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.15.1
Multipliez 0 par -1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0000λ-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.15.2
Multipliez 0 par λ.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0000-λ⋅1])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0000-λ⋅1])
Étape 1.4.1.2.16
Multipliez -1 par 1.
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0000-λ])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0000-λ])
p(λ)=déterminant([10-50010000010000]+[-λ0000-λ0000-λ0000-λ])
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
p(λ)=déterminant[1-λ0+0-5+00+00+01-λ0+00+00+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5+00+00+01-λ0+00+00+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.2
Additionnez -5 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-50+00+01-λ0+00+00+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.3
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-500+01-λ0+00+00+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.4
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0+00+00+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.5
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ00+00+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.6
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ000+00+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.7
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000+00-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.8
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ00000-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.9
Soustrayez λ de 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ1+00+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.10
Additionnez 1 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ10+00+00+00-λ]
Étape 1.4.3.11
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ100+00+00-λ]
Étape 1.4.3.12
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ1000+00-λ]
Étape 1.4.3.13
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ10000-λ]
Étape 1.4.3.14
Soustrayez λ de 0.
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ1000-λ]
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ1000-λ]
p(λ)=déterminant[1-λ0-5001-λ0000-λ1000-λ]
Étape 1.5
Find the determinant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 1 by its cofactor and add.
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Étape 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+--+-++-+--+-+|
Étape 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
Étape 1.5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|1-λ000-λ100-λ|
Étape 1.5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(1-λ)|1-λ000-λ100-λ|
Étape 1.5.1.5
The minor for a21 is the determinant with row 2 and column 1 deleted.
|0-500-λ100-λ|
Étape 1.5.1.6
Multiply element a21 by its cofactor.
0|0-500-λ100-λ|
Étape 1.5.1.7
The minor for a31 is the determinant with row 3 and column 1 deleted.
|0-501-λ0000-λ|
Étape 1.5.1.8
Multiply element a31 by its cofactor.
0|0-501-λ0000-λ|
Étape 1.5.1.9
The minor for a41 is the determinant with row 4 and column 1 deleted.
|0-501-λ000-λ1|
Étape 1.5.1.10
Multiply element a41 by its cofactor.
0|0-501-λ000-λ1|
Étape 1.5.1.11
Add the terms together.
p(λ)=(1-λ)|1-λ000-λ100-λ|+0|0-500-λ100-λ|+0|0-501-λ0000-λ|+0|0-501-λ000-λ1|
p(λ)=(1-λ)|1-λ000-λ100-λ|+0|0-500-λ100-λ|+0|0-501-λ0000-λ|+0|0-501-λ000-λ1|
Étape 1.5.2
Multipliez 0 par |0-500-λ100-λ|.
p(λ)=(1-λ)|1-λ000-λ100-λ|+0+0|0-501-λ0000-λ|+0|0-501-λ000-λ1|
Étape 1.5.3
Multipliez 0 par |0-501-λ0000-λ|.
p(λ)=(1-λ)|1-λ000-λ100-λ|+0+0+0|0-501-λ000-λ1|
Étape 1.5.4
Multipliez 0 par |0-501-λ000-λ1|.
p(λ)=(1-λ)|1-λ000-λ100-λ|+0+0+0
Étape 1.5.5
Évaluez |1-λ000-λ100-λ|.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 1 by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
Étape 1.5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
Étape 1.5.5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|-λ10-λ|
Étape 1.5.5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(1-λ)|-λ10-λ|
Étape 1.5.5.1.5
The minor for a12 is the determinant with row 1 and column 2 deleted.
|010-λ|
Étape 1.5.5.1.6
Multiply element a12 by its cofactor.
0|010-λ|
Étape 1.5.5.1.7
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|0-λ00|
Étape 1.5.5.1.8
Multiply element a13 by its cofactor.
0|0-λ00|
Étape 1.5.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)|-λ10-λ|+0|010-λ|+0|0-λ00|)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)((1-λ)|-λ10-λ|+0|010-λ|+0|0-λ00|)+0+0+0
Étape 1.5.5.2
Multipliez 0 par |010-λ|.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)|-λ10-λ|+0+0|0-λ00|)+0+0+0
Étape 1.5.5.3
Multipliez 0 par |0-λ00|.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)|-λ10-λ|+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4
Évaluez |-λ10-λ|.
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Étape 1.5.5.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(-λ(-λ)+0⋅1)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(-1⋅-1λ⋅λ+0⋅1)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2.1.2
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1
Déplacez λ.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(-1⋅-1(λ⋅λ)+0⋅1)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2.1.2.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(-1⋅-1λ2+0⋅1)+0+0)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(-1⋅-1λ2+0⋅1)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2.1.3
Multipliez -1 par -1.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(1λ2+0⋅1)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2.1.4
Multipliez λ2 par 1.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(λ2+0⋅1)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2.1.5
Multipliez 0 par 1.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(λ2+0)+0+0)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)((1-λ)(λ2+0)+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.4.2.2
Additionnez λ2 et 0.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)λ2+0+0)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)((1-λ)λ2+0+0)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)((1-λ)λ2+0+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.1
Associez les termes opposés dans (1-λ)λ2+0+0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.1.1
Additionnez (1-λ)λ2 et 0.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)λ2+0)+0+0+0
Étape 1.5.5.5.1.2
Additionnez (1-λ)λ2 et 0.
p(λ)=(1-λ)((1-λ)λ2)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)((1-λ)λ2)+0+0+0
Étape 1.5.5.5.2
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=(1-λ)(1λ2-λ⋅λ2)+0+0+0
Étape 1.5.5.5.3
Multipliez λ2 par 1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-λ⋅λ2)+0+0+0
Étape 1.5.5.5.4
Multipliez λ par λ2 en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.4.1
Déplacez λ2.
p(λ)=(1-λ)(λ2-(λ2λ))+0+0+0
Étape 1.5.5.5.4.2
Multipliez λ2 par λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.4.2.1
Élevez λ à la puissance 1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-(λ2λ1))+0+0+0
Étape 1.5.5.5.4.2.2
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
p(λ)=(1-λ)(λ2-λ2+1)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-λ2+1)+0+0+0
Étape 1.5.5.5.4.3
Additionnez 2 et 1.
p(λ)=(1-λ)(λ2-λ3)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-λ3)+0+0+0
Étape 1.5.5.5.5
Remettez dans l’ordre λ2 et -λ3.
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)+0+0+0
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)+0+0+0
Étape 1.5.6
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.1
Associez les termes opposés dans (1-λ)(-λ3+λ2)+0+0+0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.1.1
Additionnez (1-λ)(-λ3+λ2) et 0.
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)+0+0
Étape 1.5.6.1.2
Additionnez (1-λ)(-λ3+λ2) et 0.
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)+0
Étape 1.5.6.1.3
Additionnez (1-λ)(-λ3+λ2) et 0.
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)
p(λ)=(1-λ)(-λ3+λ2)
Étape 1.5.6.2
Développez (1-λ)(-λ3+λ2) à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.2.1
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=1(-λ3+λ2)-λ(-λ3+λ2)
Étape 1.5.6.2.2
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=1(-λ3)+1λ2-λ(-λ3+λ2)
Étape 1.5.6.2.3
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=1(-λ3)+1λ2-λ(-λ3)-λ⋅λ2
p(λ)=1(-λ3)+1λ2-λ(-λ3)-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1.1
Multipliez -λ3 par 1.
p(λ)=-λ3+1λ2-λ(-λ3)-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.2
Multipliez λ2 par 1.
p(λ)=-λ3+λ2-λ(-λ3)-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1λ⋅λ3-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.4
Multipliez λ par λ3 en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1.4.1
Déplacez λ3.
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1(λ3λ)-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.4.2
Multipliez λ3 par λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1.4.2.1
Élevez λ à la puissance 1.
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1(λ3λ1)-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.4.2.2
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1λ3+1-λ⋅λ2
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1λ3+1-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.4.3
Additionnez 3 et 1.
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1λ4-λ⋅λ2
p(λ)=-λ3+λ2-1⋅-1λ4-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.5
Multipliez -1 par -1.
p(λ)=-λ3+λ2+1λ4-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.6
Multipliez λ4 par 1.
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-λ⋅λ2
Étape 1.5.6.3.1.7
Multipliez λ par λ2 en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1.7.1
Déplacez λ2.
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-(λ2λ)
Étape 1.5.6.3.1.7.2
Multipliez λ2 par λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1.7.2.1
Élevez λ à la puissance 1.
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-(λ2λ1)
Étape 1.5.6.3.1.7.2.2
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-λ2+1
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-λ2+1
Étape 1.5.6.3.1.7.3
Additionnez 2 et 1.
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-λ3
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-λ3
p(λ)=-λ3+λ2+λ4-λ3
Étape 1.5.6.3.2
Soustrayez λ3 de -λ3.
p(λ)=-2λ3+λ2+λ4
p(λ)=-2λ3+λ2+λ4
Étape 1.5.6.4
Déplacez λ2.
p(λ)=-2λ3+λ4+λ2
Étape 1.5.6.5
Remettez dans l’ordre -2λ3 et λ4.
p(λ)=λ4-2λ3+λ2
p(λ)=λ4-2λ3+λ2
p(λ)=λ4-2λ3+λ2
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à 0 pour déterminer les valeurs propres λ.
λ4-2λ3+λ2=0
Étape 1.7
Résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1
Factorisez λ2 à partir de λ4-2λ3+λ2.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1.1
Factorisez λ2 à partir de λ4.
λ2λ2-2λ3+λ2=0
Étape 1.7.1.1.2
Factorisez λ2 à partir de -2λ3.
λ2λ2+λ2(-2λ)+λ2=0
Étape 1.7.1.1.3
Multipliez par 1.
λ2λ2+λ2(-2λ)+λ2⋅1=0
Étape 1.7.1.1.4
Factorisez λ2 à partir de λ2λ2+λ2(-2λ).
λ2(λ2-2λ)+λ2⋅1=0
Étape 1.7.1.1.5
Factorisez λ2 à partir de λ2(λ2-2λ)+λ2⋅1.
λ2(λ2-2λ+1)=0
λ2(λ2-2λ+1)=0
Étape 1.7.1.2
Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.1
Réécrivez 1 comme 12.
λ2(λ2-2λ+12)=0
Étape 1.7.1.2.2
Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.
2λ=2⋅λ⋅1
Étape 1.7.1.2.3
Réécrivez le polynôme.
λ2(λ2-2⋅λ⋅1+12)=0
Étape 1.7.1.2.4
Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait a2-2ab+b2=(a-b)2, où a=λ et b=1.
λ2(λ-1)2=0
λ2(λ-1)2=0
λ2(λ-1)2=0
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à 0, l’expression entière sera égale à 0.
λ2=0
(λ-1)2=0
Étape 1.7.3
Définissez λ2 égal à 0 et résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.1
Définissez λ2 égal à 0.
λ2=0
Étape 1.7.3.2
Résolvez λ2=0 pour λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√0
Étape 1.7.3.2.2
Simplifiez ±√0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.2.2.1
Réécrivez 0 comme 02.
λ=±√02
Étape 1.7.3.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
λ=±0
Étape 1.7.3.2.2.3
Plus ou moins 0 est 0.
λ=0
λ=0
λ=0
λ=0
Étape 1.7.4
Définissez (λ-1)2 égal à 0 et résolvez λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.4.1
Définissez (λ-1)2 égal à 0.
(λ-1)2=0
Étape 1.7.4.2
Résolvez (λ-1)2=0 pour λ.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.4.2.1
Définissez le λ-1 égal à 0.
λ-1=0
Étape 1.7.4.2.2
Ajoutez 1 aux deux côtés de l’équation.
λ=1
λ=1
λ=1
Étape 1.7.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent λ2(λ-1)2=0 vraie.
λ=0,1
λ=0,1
λ=0,1
Étape 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI4)
Étape 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([10-50010000010000]+0[1000010000100001])
Étape 3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.1
Multipliez 0 par chaque élément de la matrice.
[10-50010000010000]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez 0 par 1.
[10-50010000010000]+[00⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[000⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[0000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[00000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[000000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez 0 par 1.
[10-50010000010000]+[0000000⋅00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[00000000⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[000000000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[0000000000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.10
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[00000000000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.11
Multipliez 0 par 1.
[10-50010000010000]+[000000000000⋅00⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.12
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[0000000000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.13
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[00000000000000⋅00⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.14
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[000000000000000⋅00⋅1]
Étape 3.2.1.2.15
Multipliez 0 par 0.
[10-50010000010000]+[0000000000000000⋅1]
Étape 3.2.1.2.16
Multipliez 0 par 1.
[10-50010000010000]+[0000000000000000]
[10-50010000010000]+[0000000000000000]
[10-50010000010000]+[0000000000000000]
Étape 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Additionnez les éléments correspondants.
[1+00+0-5+00+00+01+00+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.2.1
Additionnez 1 et 0.
[10+0-5+00+00+01+00+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.2
Additionnez 0 et 0.
[10-5+00+00+01+00+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.3
Additionnez -5 et 0.
[10-50+00+01+00+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.4
Additionnez 0 et 0.
[10-500+01+00+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.5
Additionnez 0 et 0.
[10-5001+00+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.6
Additionnez 1 et 0.
[10-50010+00+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.7
Additionnez 0 et 0.
[10-500100+00+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.8
Additionnez 0 et 0.
[10-5001000+00+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.9
Additionnez 0 et 0.
[10-50010000+00+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.10
Additionnez 0 et 0.
[10-500100000+01+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.11
Additionnez 0 et 0.
[10-5001000001+00+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.12
Additionnez 1 et 0.
[10-50010000010+00+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.13
Additionnez 0 et 0.
[10-500100000100+00+00+0]
Étape 3.2.2.2.14
Additionnez 0 et 0.
[10-5001000001000+00+0]
Étape 3.2.2.2.15
Additionnez 0 et 0.
[10-50010000010000+0]
Étape 3.2.2.2.16
Additionnez 0 et 0.
[10-50010000010000]
[10-50010000010000]
[10-50010000010000]
[10-50010000010000]
Étape 3.3
Find the null space when λ=0.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[10-500010000001000000]
Étape 3.3.2
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x1-5x3=0
x2=0
x4=0
0=0
Étape 3.3.3
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[x1x2x3x4]=[5x30x30]
Étape 3.3.4
Write the solution as a linear combination of vectors.
[x1x2x3x4]=x3[5010]
Étape 3.3.5
Write as a solution set.
{x3[5010]|x3∈R}
Étape 3.3.6
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[5010]}
{[5010]}
{[5010]}
Étape 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
N([10-50010000010000]-[1000010000100001])
Étape 4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Soustrayez les éléments correspondants.
[1-10-0-5-00-00-01-10-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1
Soustrayez 1 de 1.
[00-0-5-00-00-01-10-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.2
Soustrayez 0 de 0.
[00-5-00-00-01-10-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.3
Soustrayez 0 de -5.
[00-50-00-01-10-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.4
Soustrayez 0 de 0.
[00-500-01-10-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.5
Soustrayez 0 de 0.
[00-5001-10-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.6
Soustrayez 1 de 1.
[00-50000-00-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.7
Soustrayez 0 de 0.
[00-500000-00-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.8
Soustrayez 0 de 0.
[00-5000000-00-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.9
Soustrayez 0 de 0.
[00-50000000-00-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.10
Soustrayez 0 de 0.
[00-500000000-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.11
Soustrayez 1 de 0.
[00-50000000-11-00-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.12
Soustrayez 0 de 1.
[00-50000000-110-00-00-00-1]
Étape 4.2.2.13
Soustrayez 0 de 0.
[00-50000000-1100-00-00-1]
Étape 4.2.2.14
Soustrayez 0 de 0.
[00-50000000-11000-00-1]
Étape 4.2.2.15
Soustrayez 0 de 0.
[00-50000000-110000-1]
Étape 4.2.2.16
Soustrayez 1 de 0.
[00-50000000-11000-1]
[00-50000000-11000-1]
[00-50000000-11000-1]
Étape 4.3
Find the null space when λ=1.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[00-5000000000-110000-10]
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -15 to make the entry at 1,3 a 1.
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Étape 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -15 to make the entry at 1,3 a 1.
[-15⋅0-15⋅0-15⋅-5-15⋅0-15⋅00000000-110000-10]
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez R1.
[001000000000-110000-10]
[001000000000-110000-10]
Étape 4.3.2.2
Perform the row operation R3=R3+R1 to make the entry at 3,3 a 0.
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Étape 4.3.2.2.1
Perform the row operation R3=R3+R1 to make the entry at 3,3 a 0.
[00100000000+00+0-1+1⋅11+00+0000-10]
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez R3.
[001000000000010000-10]
[001000000000010000-10]
Étape 4.3.2.3
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,4.
[001000001000000000-10]
Étape 4.3.2.4
Perform the row operation R4=R4+R2 to make the entry at 4,4 a 0.
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Étape 4.3.2.4.1
Perform the row operation R4=R4+R2 to make the entry at 4,4 a 0.
[0010000010000000+00+00+0-1+1⋅10+0]
Étape 4.3.2.4.2
Simplifiez R4.
[00100000100000000000]
[00100000100000000000]
[00100000100000000000]
Étape 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x3=0
x4=0
0=0
0=0
Étape 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[x1x2x3x4]=[x1x200]
Étape 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[x1x2x3x4]=x1[1000]+x2[0100]
Étape 4.3.6
Write as a solution set.
{x1[1000]+x2[0100]|x1,x2∈R}
Étape 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[1000],[0100]}
{[1000],[0100]}
{[1000],[0100]}
Étape 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[5010],[1000],[0100]}
 [x2  12  √π  ∫xdx ]